Scambi di energia durante la carica e la scarica del condensatore

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Domenica, 07 Luglio 2013 15:39; Scritto da Super User; Visite: 5879

fig2.3.10

Fig 3.10 - Transitorio con condensatore inizialmente carico alla tensione V₀

Nell' articolo Energia Immagazzinata nel Condensatore è stata analizzata la carica del condensatore realizzata da un generatore di corrente; in quel caso l’energia immagazzinata dal condensatore risultava

${\color{Red} \mathbf{ W_{c}=\frac{1}{2}C*V^{2}_{finale} }}$

Con ragionamenti analoghi valutiamo ora gli scambi di energia che intervengono nel transitorio di carica e scarica per mezzo del generatore reale. Facendo sempre riferimento allo schema di ﬁg. 3.10, indichiamo con E la tensione a vuoto del generatore reale e con V₀ la tensione iniziale del condensatore. Prima del transitorio l’energia immagazzinata nel condensatore vale

${\color{Red} \mathbf{ W_{co}=\frac{1}{2}C*V^{2}_{0} }}$

A transitorio estinto la tensione ﬁnale ai capi del condensatore coincide con E, e l’energia immagazzinata risulta

${\color{Red} \mathbf{ W_{cf}=\frac{1}{2}C*E^{2} }}$

Nel corso del transitorio l'incremento di energia è dato da

${\color{Red} \mathbf{ \Delta W_{c}= W_{cf} - W_{co}=\frac{1}{2}C *(E^{2}-V_{0}^{2}) }}$

**Tabella 3.11** - Transitori capacitivi
Tensioni	Espressioni analitiche	Andamento della tensione	Andamento della corrente
${\color{Red} \mathbf{ V_{0}=E }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v(t)=E }} \\ {\color{Red} \mathbf{ i(t)=0 }}$
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ 0<V_{0}<E }} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ E>0 }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v(t)=E+(V_{0}-E)e^{-t/\tau} }} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ i(t)=\frac{E-V_{0}}{R}e^{-t/\tau} }}$
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ V_{0}>E }} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ E>0 }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v(t)=E+(V_{0}-E)e^{-t/\tau} }} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ i(t)=\frac{E-V_{0}}{R}e^{-t/\tau} }}$
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ V_{0}<0 }} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ E>0 }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v(t)=E+(V_{0}-E)e^{-t/\tau} }} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ i(t)=\frac{E-V_{0}}{R}e^{-t/\tau} }}$
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ V_{0}\neq 0 }} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ E=0 }} \\ {\color{Red} \mathbf{ (scarica) }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v(t)=V_{0}e^{-t/\tau} }} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ i(t)=-\frac{V_{0}}{R}e^{-t/\tau} }}$

Durante lo stesso transitorio il generatore eroga l’energia W_g, calcolabile come prodotto della tensione per la quantità di carica fornita; la carica trasferita dal generatore al condensatore corrisponde all’area sottesa alla curva della corrente, come già visto nell articolo Carica del condensatore per mezzo di un generatore reale, e vale

${\color{Red} \mathbf{ Q=I_{0}\tau =\frac{E-V_{0}}{R}R*C= C(E-V_{0}) }}$

da cui si ricava l’energia fornita dal generatore

${\color{Red} \mathbf{ W_{g}=QE= C*E(E-V_{0}) }}$

La differenza tra le energie W_g e ΔW_C viene dissipata dalla resistenza, che pareggia cosi il bilancio energetico

${\color{Red} \mathbf{ W_{r}=W_{g}-\Delta W_{c}=CE(E-V_{0})-\frac {1}{2}C(E-V_{0})(E+V_{0})=\frac{1}{2}C(E-V_{0})^{2} }}$

Le energie scambiate o dissipate dipendono unicamente dai valori della capacita, di E e di V₀, mentre non dipendono in alcun modo dalla resistenza (nemmeno la W_r, dissipata).

Il valore della resistenza influisce solamente sulla durata del transitorio: aumentando la resistenza si prolunga il transitorio, ma le energie rimangono invariate; ovviamente le potenze risultano ridotte proporzionalmente.

Se V₀ è maggiore di E, durante il transitorio l’energia ﬂuisce dal condensatore verso il generatore: ΔW_c e W_g risultano negative, mentre W_r, dissipata è sempre positiva.

Nel caso particolare della carica completa, nella quale il condensatore e inizialmente scarico, le espressioni delle energie si sempliﬁcano, poiché V₀ = 0, e diventano

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Delta W_{c}=\frac{1}{2}CE^{2} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ W_{g}=CE^{2} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ W_{r}=\frac{1}{2}CE^{2} }}$

In questo caso notiamo una coincidenza interessante: l’energia dissipata dalla resistenza durante la carica completa corrisponde esattamente all’energia immagazzinata dal condensatore.

Quando un condensatore, carico alla tensione V₀, viene chiuso sulla sola resistenza, esso si scarica completamente per analizzare la scarica completa, basta porre E = 0; le formule dell’energia si sempliﬁcano nel modo seguente

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Delta W_{c}=\frac{1}{2}CV_{0}^{2} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ W_{g}=0 }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ W_{r}=\frac{1}{2}CV_{0}^{2} }}$

Tutta l'energia del condensatore viene ovviamente dissipata dalla resistenza.

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