Fattore di forma

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Giovedì, 24 Aprile 2014 11:02; Scritto da Super User; Visite: 13138

fig4.1.5

Fig 1.5 - Dimostrazione che k>1

Il rapporto fra il valore efficace di una grandezza ed il suo valor medio è detto fattore di forma e si indica con k_f:

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ K_{f}=\frac{I_{eff}}{I_{med}} }}$

oppure

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ K_{f}=\frac{V_{eff}}{V_{med}} }}$

in generale

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ K_{f}=\frac{Y_{eff}}{Y_{med}} }}$

Si può facilmente verificare che il valore efficace ed il valor medio coincidono solamente in corrente continua, oppure con forma d’onda rettangolare avente Y_max- = Y_ma+, come in fig. 1.5 b). Per tutte le altre forme d’onda

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ K_{f}=\frac{Y_{eff}}{Y_{med}} }}$

e quindi

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ k_{f}>1 }}$

Per chiarire questa affermazione riferiamoci alla figura 1.5 a), dove si considera inizialmente una corrente continua I; il suo valore quadratico medio è I² ed il valore efficace

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ I_{eff}=\sqrt{I^{2}}=I }}$

Se ora sovrapponiamo alla funzione costante la funzione alternata rettangolare di fig. 1.5 b), avente ampiezza b, otteniamo la funzione indicata in fig. 1.5 c), il cui valor medio è ancora pari a I.

Calcoliamo il nuovo valore quadratico medio, tracciando la curva dei quadrati e valutando l’area sottesa (ﬁg. 1.5 d); è evidente dal disegno che, riferendoci al livello I², la porzione di area aggiunta è maggiore di quella sottratta.

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ A=\frac{T}{2}(I-b)^{2}+\frac{T}{2}(I+b)^{2}=\frac{T}{2}(I^{2}+b^{2}-2Ib+I^{2}+b^{2}+2ib)= }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ =\frac{T}{2}(2I^{2}+2b^{2})=T(I^{2}+b^{2}) }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ I_{eff}=\frac{A}{T}=(I^{2}+b^{2}) }}$

In formule che è chiaramente maggiore del valore I² ottenuto nel caso di corrente continua; così pure

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ I_{eff}=\sqrt{I^{2}+b^{2}}>I \,\,\,\,e\,\,\,\,k_{f}>1 }}$

Osserviamo inoltre che il valore quadratico medio così ottenuto è dato semplicemente dalla somma del valor quadratico medio della componente continua, I², con il valor quadratico medio della componente alternata, b².

Si può dimostrare che questa proprietà resta valida qualunque sia la forma della componente alternata, ed in generale si può scrivere

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ I_{eff\,totale}=I_{cc}^{2}+I_{eff \, alternata}^{2} }}$

Questa relazione ci permette di affermare che la potenza totale, dissipata in un resistore da una corrente periodica è data dalla somma delle potenze dissipate dalla componente continua e dalla componente alternata, prese separatamente. La corrente efficace complessiva è ottenuta con una regola di composizione analoga al teorema di Pitagora

Tab1 - Valori medi,componente continua,valore efficace di forme d'onda più riccorrenti
E_cc	E_med	E_eff
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{cc}=E_{M}\frac{t_{1}}{T} }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{med}=E\frac{t_{1}}{T} }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{M}*\sqrt{\frac{t_{1}}{T}} }}$
0	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{med}=E_{M} }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{eff}=E_{M} }}$
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{cc}=\frac{E_{M}}{2} }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{med}=\frac{E_{M}}{2} }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{eff}=\frac{E_{M}}{\sqrt{3}} }}$
0	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{med}=\frac{E_{M}}{2} }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{eff}=\frac{E_{M}}{\sqrt{3}} }}$
0	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{med}=\frac{2}{\pi}*E_{M} }}$	$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{eff}=\frac{E_{M}}{\sqrt{2}} }}$

In tabella 1 sono riportate diverse forme d’onda di uso comune, con i relativi valori della componente continua, del valor medio, del valore efficace e del fattore di forma. Si consiglia di ricavare, per esercizio, gli stessi dati con il metodo esposto nel capitolo «Valore Efficace»

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