Circuito R-L in serie

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Domenica, 03 Agosto 2014 08:16; Scritto da Super User; Visite: 8590

Fig. 3.5 - Risposta al variare della pulsazione del circuito R-L-C- serie.

Per descrivere la risposta in frequenza del circuito R-L-C in serie di fig. 3.5 si segue la stessa procedura adottata per i circuiti R-L ed R-C.

Il diagramma dell'impedenza è riportato in fig. 3.5 a). Come è già noto dall'articolo «Circuito R-L-C in serie - Risonanza», alla pulsazione di risonanza ω_r le reattanze induttiva e capacitiva sono uguali ed opposte e l’impedenza si riduce alla sola resistenza.

Per pulsazioni superiori la reattanza induttiva prevale su quella capacitiva, mentre per quelle inferiori avviene l’inverso.

Il diagramma polare di fig. 3.5 b) rappresenta il vettore corrente in funzione di ω, che descrive una circonferenza; la massima corrente si ottiene per ω =ω_r; per pulsazioni molto basse la corrente tende a zero, poiché la reattanza capacitiva diventa elevatissima; a pulsazioni molto elevate diventa invece molto grande la reattanza induttiva e la corrente tende nuovamente a zero.

Esiste un valore di pulsazione ω_i, detta di taglio inferiore, a cui corrisponde la frequenza di taglio f_i, minore della pulsazione di risonanza, per il quale si verifica l'uguaglianza fra la reattanza totale e la resistenza

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ X_{tot}=X_{C}-X_{L}=R }}$

cioè

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \frac{1}{\omega _{i}C}-\omega _{i}L =R }}$

Da cui si ricava

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \omega _{i}=\frac{-R+\sqrt{R^{2}+4\frac{L}{C}}}{2L} }}$

In corrispondenza ad ω_i- la fase della corrente I₁ è di 45° in anticipo su I_r mentre il suo modulo risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ I_{1}=\frac{I_{r}}{\sqrt{2}} }}$

Analogamente esiste un secondo valore di pulsazione ω_s > ω_r, detta di taglio superiore, a cui corrisponde la frequenza di taglio superiore f_s, per il quale si verifica l'uguaglianza

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ X_{tot}=X_{C}-X_{L}=R }}$

cioè

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \omega _{s}L -\frac{1}{\omega _{s}C}=R }}$

da cui si ricava

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \omega _{s}=\frac{R+\sqrt{R^2+4\frac{L}{C}}}{2L} }}$

Quando la pulsazione è pari ad ω_s, la fase della corrente I₂ è in ritardo di 45° rispetto ad I_r ed il suo modulo vale nuovamente

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ I_{2}=\frac{I_{r}}{\sqrt{2}} }}$

L’intervallo di pulsazioni compreso tra ω_i ed ω_s è detto banda passante all'interno della banda la corrente assume i massimi valori, mentre all'esterno viene attenuata rapidamente.

In fig. 3.6 è riportato il diagramma di Bode dello stesso circuito, che mette in evidenza la banda passante e l’attenuazione che si verifica al suo esterno.

All'interno della banda passante la corrente è attenuata da 0 a — 3 dB mentre all'esterno è attenuata di 20 dB/decade, cioè è divisa per 10 ogni volte che ci si allontana di una decade dalla pulsazione di taglio.

La larghezza B della banda passante è pari a

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ B_{\omega} =\omega _{s}-\omega _{i}=\frac{R}{L} }}$

e si misura in rad/s. La banda passante viene solitamente espressa come differenza tra le frequenze di taglio, in questo caso si indica con B_f, si misura in Hz e vale

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ B_{f}=f_{s}-f_{i}=\frac{R}{2\pi L} }}$

Fig. 3.6 - Diagramma di Bode del circuito R-L-C serie.

Se si vuole realizzare un circuito molto selettivo (cioè con banda passante stretta) è dunque necessario ridurre il rapporto R/L.

Fra le pulsazioni considerate sussistono le seguenti relazioni

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \frac{\omega _{s}}{\omega _{r}}=\frac{\omega _{r}}{\omega _{i}} }}$

cioè

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \omega _{r}^{2}=\omega _{i}\omega _{s}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \omega _{r}=\sqrt{\omega _{i}\omega _{s}} }}$

La pulsazione di risonanza è la media geometrica fra le pulsazioni di taglio. Poiché il diagramma di Bode è logaritmico, a rapporti uguali corrispondono segmenti uguali e sul diagramma la pulsazione di risonanza ω_r , risulta centrata rispetto a ω_i e ω_s. Analogamente per le frequenze

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ f_{r}^{2}=f_{1}*f_{s};\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_{r}=\sqrt{f_{1}*f_{s}} }}$

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