Trasformatore reale

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Giovedì, 25 Settembre 2014 16:29; Scritto da Super User; Visite: 8911

Fig. 1.9 - Circuito equivalente di un trasformatore reale che considera solo le perdite nel rame.

Le ipotesi dell'articolo «Trasformatore ideale sotto carico», che consentono di ritenere il trasformatore ideale, sono condizioni alle quali si deve tendere nel costruire un trasformatore, ma che in pratica non sono completamente realizzabili.

Infatti:

gli avvolgimenti presentano sempre una resistenza;
il ﬂusso magnetico non si concatena perfettamente con i due avvolgimenti;
la corrente magnetizzante non è sempre trascurabile;
vi sono perdite nel ferro dovute a isteresi e a correnti parassite.

Evidentemente per analizzare il funzionamento del trasformatore reale il circuito equivalente di fig. 1.8 (presente nell'articolo «Trasformatore ideale sotto carico») non è più sufficientemente preciso.

Nello studio delle macchine elettriche reali si utilizza l'artificio di aggiungere al circuito equivalente della macchina ideale alcuni componenti fittizi (resistori, induttori, ecc.) che simulano la presenza di quei fenomeni non considerati nella macchina ideale.

Tali componenti non devono necessariamente esistere fisicamente, ma servono per realizzare un circuito equivalente che simuli un comportamento il più prossimo possibile a quello della macchina in esame.

In particolare il valore e la collocazione dei componenti fittizi devono essere scelti in modo da rappresentare il più correttamente possibile le potenze attive e reattive in gioco nella macchina reale.

Resistenze equivalenti

Nel realizzare il circuito equivalente della macchina reale si tiene conto della resistenza degli avvolgimenti del trasformatore, aggiungendo al trasformatore ideale i resistori R₁ e R₂ attraversati rispettivamente dalle correnti i₁ e i₂ come illustrato in fig. 1.9.

I valori delle resistenze R₁ e R₂ devono essere tali da dissipare per effetto joule la stessa potenza dissipata dai rispettivi avvolgimenti e in prima approssimazione corrispondono alla resistenza ohmica degli avvolgimenti stessi.

Flussi dispersi

Il non perfetto accoppiamento magnetico tra i due avvolgimenti fa sì che una parte del flusso creato dalla corrente magnetizzante, detto flusso disperso, non si concateni con l'avvolgimento secondario ma solamente con il primario (flusso Φ _d1” di fig. 1.10a).

Indichiamo con Φ_M il flusso utile, che concatena entrambi gli avvolgimenti, e con Φ_d1 il flusso disperso, che concatena solamente il primario e che si sviluppa prevalentemente in aria. In fig. 1.10a i due avvolgimenti sono disegnati su due colonne separate, per evidenziare meglio l'andamento dei flussi. In realtà i due avvolgimenti sono collocati sulla stessa colonna, proprio per minimizzare i flussi dispersi (fig. 1.4 presente nell'articolo «Trasformatore monofase ideale a vuoto»): nonostante questo accorgimento, rimane una quota non sempre trascurabile di flusso disperso.

Il flusso disperso Φ_d1, concorde con Φ_μ, è proporzionale alla corrente concatenata A₁ del primario e risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi _{d1}=\frac{N_{1}*i_{1}}{\Re _{a1}} }}$

dove ℜ_a1 indica la riluttanza del circuito magnetico percorso da Φ_d1.

Il corrispondente flusso disperso concatenato solo con il primario risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi _{d1}=N_{1}\Phi _{d1}=\frac{N_{1}^{2}}{\Re _{a1}}*i_{1}=L_{d1}*i_{1} }}$

dove

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ L_{d1}= \frac{N_{1}^{2}}{\Re _{a1}}=\frac{N_{1}\Phi _{d1}}{i_{1}} }}$

prende il nome di induttanza di dispersione primaria.

La tensione v₁ può essere espressa come somma dei contributi di Φ_μ e Φ_d1

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v_{1}=N_{1}\frac{d\Phi}{dt}=N_{1}\frac{d\Phi _{\mu}}{dt}+N_{1}\frac{d\Phi _{d1}}{dt} }}$

Fig. 1.10 - (a) Andamento del flusso disperso; (b) circuito equivalente che considera solo il flusso disperso.

Il trasformatore ideale, che rimane al centro del circuito equivalente, è interessato solamente dal flusso utile Φ_μ. Ai suoi capi si localizzano la tensione al primario

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ e_{1}=N_{1}\frac{d\Phi _{\mu}}{dt} }}$

e la tensione al, secondario

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ e_{2}=N_{2}\frac{d\Phi _{\mu}}{dt} }}$

Sostituendo nell'espressione di v₁ possiamo ora scrivere che

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v_{1}= e_{1}+N_{1}\frac{d\Phi _{d1}}{dt}=e_{1}+L_{d1}\frac{di _{1}}{dt} }}$

Il termine L_d1= di₁/dt rappresenta una caduta induttiva di tensione che viene simulata inserendo l'induttore L_d1 sulla corrente i₁ (fig. 1.10b).

Se al secondario viene collegato un carico, la corrente i₂ crea un flusso disperso che si sviluppa in aria e vale

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi _{d2}=N_{2}\frac{i_{2}}{\Re _{a2}} }}$

dove ℜ_a2 rappresenta la riluttanza del circuito magnetico percorso da Φ_d2. Il corrispondente flusso concatenato risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi _{d2c}=N_{2}\Phi _{d2}=\frac{N_{2}^{2}}{\Re _{a2}}=L_{d2}*i_{2} }}$

dove L_d2 prende il nome di induttanza di dispersione secondaria.

Il flusso disperso Φ_d2 non può essere bilanciato da alcuna corrente primaria perché non concatena il primario. Inoltre rileviamo che un aumento i₂ provoca un aumento di Φ_d2 ma una diminuzione di Φ_μ; pertanto la tensione indotta da Φ_d2 ha segno opposto alla tensione principale e₂. La tensione secondaria v₂ sotto carico risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v_{2}=N_{2}\frac{d(\Phi _{\mu }-\Phi _{d2})}{dt}=N_{2}\frac{d\Phi _{\mu}}{dt}-N_{2}\frac{d\Phi _{d2}}{dt}=e_{2}-L_{d2}\frac{di_{2}}{dt} }}$

La caduta di tensione rappresentata dal termine L_d2= di₂ /dt viene simulata inserendo l'induttanza L_d2 nel circuito secondario, come in fig. 1.10b.

Corrente magnetizzante

Fig. 1.11 - Circuito equivalente del trasformatore reale, che considera solo la circolazione di corrente magnetizzante.

Per tenere in debito conto la corrente magnetizzante si collega l'induttanza L₀ in parallelo alla tensione e₁ come in fig. 1.11.

L'induttanza L₀ vale

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ L_{0}=\frac{N_{1}^{2}}{\Re} }}$

dove ℜ è la riluttanza dell'intero circuito magnetico del trasformatore.

Perdite nel ferro

L'identificazione di un componente che tenga nel debito conto l'effetto delle perdite per isteresi e per correnti parassite è assai complessa.

Poiché queste perdite sono circa proporzionali al quadrato della tensione e₁, una semplificazione comunemente accettata consiste nel collegare una resistenza R₀ in parallelo a L₀ (fig. 1.12).

La resistenza R₀ in pratica non esiste, ma viene utilizzata per simulare la potenza persa nel ferro in condizioni medie di funzionamento.

Fig. 1.12 - Circuito equivalente del trasformatore reale che considera solo le perdite nel ferro e la corrente magnetizzante.

Il circuito equivalente che considera il comportamento del trasformatore reale nel suo complesso assume l'aspetto di fig. 1.13 e comprende tutti i componenti fittizi considerati finora. Lo schema è valido per qualsiasi tipo di trasformatore, ma i valori da attribuire ai vari elementi sono specifici per ciascun trasformatore e possono subire sensibili variazioni al variare della forma d'onda e della frequenza della tensione primaria.

Fig. 1.13 - Circuito equivalente completo di un trasformatore reale.

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