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Dimensionamento di un trasformatore: Calcolo dei parametri

Proseguiamo il dimensionamento del trasformatore iniziato nell'articolo "Dimensionamento di un trasformatore" proponendoci di calcolare i valori di R0, R1, R2, Xd1 e X0.

Riepiloghiamo i dati definiti nell'articolo citato sopra

Dati di specifica

  • Tensione primaria         V1 = 220 V
  • Tensione secondaria     V2 = 100 V
  • Potenza nominale         S =1 kVA
  • Frequenza                     f = 50 Hz sinusoidale

Dimensioni del Circuito magnetico

  • Lamierino 290, riportato in fig. 2.12 presente nell'articolo "Dimensionamento di un trasformatore: calcolo della corrente magnetizzante"
  • Larghezza finestra               D = 25 mm
  • Altezza finestra                    E = 75 mm
  • Larghezza colonna              C = 50 mm
  • Larghezza totale                  A = 150 mm
  • Altezza totale                       B = 125 mm
  • Spessore del pacco lordo    d’ =70 mm
  • Spessore netto                    d = 64 mm
  • Sezione netta colonna        sn = C *d = 3200 mm2
  • Avvolgimento                      N1 = 248 spire; N2 = 124 spire
  • Sezioni conduttori               S1 = 2,01 mm2; s2 = 3,94 mm2

Abbiamo scelto un lamierino di Fe-Si con cifra di perdita Kp = 1,3 W/kg. Il calcolo di R0 viene effettuato per mezzo della relazione vista nell'articolo "Calcolo dei parametri del trasformatore reale in regime sinusoidale":

Valutiamo innanzitutto il peso del circuito magnetico, calcolato come prodotto tra il peso specifico del ferro (γ = 7,86 g/cm3) e il volume netto del ferro.

Con riferimento alle dimensioni del circuito magnetico tale volume si calcola con la formula

Il peso viene immediatamente calcolato

La resistenza R0, calcolata alla frequenza industriale di 50 Hz, risulta

Le perdite nel ferro alla tensione nominale risultano

Noto il valore della corrente magnetizzante ricavato nell'articolo "Dimensionamento di un trasformatore: calcolo della corrente magnetizzante", ovvero Iμ=0,52 A, ricaviamo la reattanza derivata

I valori di R1 e R2 sono ottenuti aumentando del 10% i valori calcolati con la relazione valida per la corrente continua R = ρ*l/s.

Sapendo che il filo utilizzato è di rame e assumendo una temperatura media di esercizio di 75°, si calcola ρ75 =0,021 Ω-mm/m.

La sezione dei fili è già nota. È necessario ancora calcolare le lunghezze l1 e l2 dei due avvolgimenti: facendo riferimento alla fig. .17 si calcola innanzitutto la lunghezza della spira media sia secondaria sia primaria che viene poi moltiplicata per il numero di spire corrispondente.

L2fig1.3.17

Fig. 2.17 - Sezione orizzontale del trasformatore per il calcolo della lunghezza della spira media primaria e secondaria.

  • C = larghezza della colonna = 50 mm;
  • d’ = altezza pacco lamierini = 70 mm;
  • D = larghezza finestra = 25 mm; A
  • Spira media primaria l1 = 2C + 2d' + 2πr1 = 278 mm;
  • Spira media secondaria l2 = 2C + 2d’ + 2πr2 = 353 mm.

La lunghezza della spira media dell'avvolgimento di alta tensione risulta

l1m = 2C + 2d’ + 2πr11 = 278 mm

e quella di bassa tensione

l2m = 2C + 2d’ + 2πr2 = 353 mm

da cui

l1 = N1l1m=68,9m; l2 = N2l2m=43,78m;

L2fig1.3.18

Fig. 2.18 - Quote necessarie per il calcolo di L1 e L2.

Le resistenze a 75° risultano

Per il calcolo delle Xd1 e Xd2 si applicano le espressioni inerenti al caso di avvolgimenti concentrici

Gli spessori e le distanze da inserire nella formula vengono ricavati dalle dimensioni del trasformatore riportate in fig. 2.18

Il perimetro medio Pm può essere calcolato come media aritmetica tra le lunghezze delle spire medie primaria e secondaria già calcolate

I valori degli spessori x1 e x2 si calcolano valutando il numero di strati di conduttori per ciascun avvolgimento e moltiplicandolo per i rispettivi diametri dei fili comprendenti lo smalto. A tal fine si calcola prima il numero di spire contenute in uno strato, dato dal rapporto tra l’altezza utile della finestra h = (E- 3) = 72 mm e il diametro esterno del filo; il valore ottenuto viene arrotondato per difetto

Si avranno al primario un numero di strati

e al secondario

Gli spessori degli avvolgimenti risultano

Lo spessore x’ di finestra non occupata dagli avvolgimenti risulta

Ipotizzando lo spessore del rocchetto Δ1 = 1,5 mm e lo spessore di finestra non utilizzato Δ2 =1 mm, la distanza x tra gli avvolgimenti risulta

L'altezza utile h degli avvolgimenti è stata già posta uguale a 72 mm.

Abbiamo tutti gli elementi da sostituire nella formula per calcolare le induttanze

a cui corrispondono le reattanze

In questo trasformatore le reattanze di dispersione assumono valori dello stesso ordine di grandezza delle resistenze.

Nei trasformatori di potenza minore le reattanze risultano assai più piccole delle resistenze e spesso possono essere trascurate.

Al contrario, nei trasformatori di potenza più elevata le reattanze di dispersione sono assai maggiori delle resistenze.

Nell'articolo "Influenza delle dimensioni di un trasformatore sul valore dei suoi parametri" si vedrà sistematicamente come i diversi parametri variano con leggi diverse al variare delle dimensioni.

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