Se VI > VF, la curva prende la forma di fig. 3.4 a); se VI < VF quella di fig. 3.4 b).
La curva è totalmente determinata quando si conoscono i tre parametri
Evidenziamo ora alcune proprietà notevoli delle curve esponenziali.
Proprietà 1. - La tangente alla curva nel suo punto iniziale intercetta l’asintoto al tempo t=τ (vedi fig. 3.5); il coefficiente angolare m di tale tangente è dato dal rapporto fra i due cateti di lunghezza (VF— VI) e τ
reciprocamente
Fig 3.5 - Relazione fra la tangente e la costante di tempo
Il coefficiente angolare della tangente nell’origine non è altro che la derivata della curva nell’origine, che viene indicata come
possiamo quindi porre
e quindi
Questa proprietà è valida anche assumendo come punto iniziale un qualsiasi altro punto della curva, come ad esempio il punto B al tempo tB, dove la funzione assume il valore VB. La derivata della curva in questo punto ha ancora un’espressione simile, e risulta
Sfruttando questa proprietà diventa facile tracciare la curva esponenziale. Si devono conoscere inizialmente i tre parametri VI, VF e τ, e si procede nel modo seguente (esempi delle figure 3.7 e 3.8): si traccia l’asintoto al livello VF, si indica sull’asse y il punto iniziale di ordinata VI, ed infine si delimita sull’asintoto il segmento di durata τ.
La retta che congiunge VI con il punto P è tangente alla curva nel suo punto iniziale. Con questi elementi la curva può essere tracciata agevolmente.
Fig 3.6 - Area compresa tra la curva e l'asintoto
Fig 3.7 - Curva esponenziale con valore finale maggiore del valore iniziale
Fig 3.8 - Curva esponenziale con VI=0 e VF > VI
Proprietà 2. - L’area compresa tra la curva e l’asintoto (ombreggiata in fig. 3.6) è pari al prodotto dell’ampiezza per la costante di tempo
Se, come nel caso precedente, si assume come punto iniziale un generico punto B, la porzione di area compresa da B in poi è ancora data dalla stessa espressione, dove, al posto di VI, compare VB
Fig 3.9 - Carica di un condensatore attraverso un generatore reale a) Schema elettrico; b) andamento della tensione c) andamento della corrente