Funzione Derivata

Derivata delle funzioni sinusoidali

Fig 1.2 - Funzione derivata ricavata dal calcolo dei coefficienti angolari nei singoli punti

Un caso particolarmente interessante nello studio delle correnti alternate è costituito dai fenomeni con andamento sinusoidale nel tempo, rappresentati dalla funzione

dove  ω = 2 π f rappresenta la pulsazione del fenomeno periodico ed A rappresenta il valore massimo della sinusoide, detto ampiezza.

Per semplicità ci riferiamo, in un primo tempo, alla sinusoide normalizzata di fig. 1.3 a) e b), avente A = 1 e ω = 1 come nell articolo funzione sinusoidale. L’espressione analitica della funzione si semplifica come segue:

La frequenza ed il periodo corrispondenti risultano:

In matematica verrà dimostrato come la funzione che rappresenta la derivata della sinusoide nei vari istanti sia la cosinusoide:

Per ora ci accontentiamo di verificare graficamente che il coefficiente angolare della tangente negli istanti t = 0, π / 2, π, 3 / 2 π, 2 π assume proprio i valori 1, 0, -1, 0, 1, corrispondenti alla cosinusoide (fig. 1.3 b)).

La sinusoide normalizzata presenta una proprietà singolare: la sua funzione derivata ne conserva l'identica forma, ma è in anticipo di 90° (π / 2 radianti). È facile verificare, ad esempio graficamente, che questa proprietà è ancora valida se la sinusoide y(t) ha un angolo di fase qualsiasi: la derivata sempre una sinusoide uguale alla y(t), ma anticipata di 90°.

Solamente un’altra curva matematica possiede una proprietà altrettanto notevole: si tratta dell'esponenziale come nell' articolo Curve esponenziali. L’esponenziale crescente normalizzata, avente cioè valore iniziale e costante di tempo pari a uno, ha la seguente espressione:

la sua funzione derivata risulta identica alla y(t):

Nell' articolo Curve esponenziali si esprimeva lo stesso concetto dicendo che l’esponenziale crescente aumenta con una rapidità proporzionale al valore raggiunto: con termini più precisi ora diciamo che, in ciascun istante, la derivata è identica al valore della funzione.

Se l’esponenziale ha ampiezza e costante di tempo diversi da uno, la derivata assume un’espressione un pò più complessa, ma rimane comunque proporzionale a y(t) in ogni istante:

Solamente le sinusoidi e le esponenziali posseggono la proprietà di mantenere invariata la propria forma dopo una operazione, di derivazione. Tutte le altre curve (iperboli, parabole, ecc.) dopo un’operazione di derivazione, cambiano totalmente aspetto.

Torniamo ora alle sinusoidi. Nel caso in cui ω sia diversa da 1, il periodo risultà:

Fig 1.3 - Derivata della sinusoide per ω = 1(a e b) e ω =2 (c e d)

Nella fig. 1.3 c) e d) si considera ad esempio ω = 2; le stesse variazioni avvengono in un tempo dimezzato, ed i coefficienti angolari delle tangenti risultano tutti raddoppiati: in ogni istante la derivata risulta doppia rispetto al caso con ω = 1.

In generale, per ω qualsiasi, la derivata risulta direttamente proporzionale ad ω:

Se inoltre l’ampiezza A della funzione y(t) è diversa da uno, tutti i coefficienti angolari risultano pure moltiplicati per A.

In conclusione, nel caso generale di una sinusoide avente l'espressione

la derivata risulta