Funzione Derivata

Fig 1.1 - Derivata in un punto come coefficiente angolare della tangente nel punto A.

In fig. 1.1 è rappresentata una generica funzione del tempo y(t). In numerosi fenomeni fisici, come quelli relativi ai circuiti induttivi e capacitivi, non interessa tanto la funzione in sé, quanto piuttosto la sua rapidità di variazione nel tempo.

In fig. 1.1, nell'intervallo di tempo Δt la funzione subisce un incremento Δy. Il rapporto:

rappresenta il coefficiente angolare della retta secante la curva nei punti A e B.

Avvicinando il punto B ad A, l’intervallo A: si riduce progressivamente e la secante si avvicina sempre più alla tangente nel punto A; anche il rapporto

si approssima sempre più al coefficiente angolare m della tangente. La derivata in un punto è proprio il coefficiente angolare della tangente la curva nello stesso punto:

Commentiamo i vari simboli usati in questa espressione. La derivata è rappresentata dal rapporto,

nel quale la lettera d sostituisce il Δ usato in precedenza; questo significa che si considerano intervalli di tempo cosi piccoli da far coincidere la retta secante con la tangente.

L’indicazione t = t _A, scritta ai piedi della parentesi, è necessaria per precisare l'istante di tempo nel quale viene calcolata la derivata.

Infatti, nei diversi punti della funzione y(t), la derivata assume valori diversi: anch'essa è dunque una funzione del tempo, e può essere messa in diagramma. Nell'esempio di fig. 1.2 è rappresentata una generica funzione y(t), sotto la quale è tracciata la funzione derivata, ottenuta riportando, punto per punto, il valore del coefficiente angolare corrispondente.

All'istante t₁ la funzione presenta la massima velocità di salita: la derivata nello stesso istante assume il massimo valore positivo. All'istante t₂ la tangente è orizzontale (m₂ = 0): la funzione derivata passa per lo zero.

Negli intervalli in cui la funzione y(t) è crescente la sua derivata è positiva; dove y(t) è decrescente la derivata risulta negativa. Nei punti di massimo e minimo, dove la tangente è orizzontale, la derivata è nulla.

Risulta evidente che la derivata di una retta è costante al variare del tempo, e coincide con il coefficiente angolare della retta stessa.

Fenomeni statici, rappresentati da una retta orizzontale, presentano derivata nulla in tutti i punti, coerentemente con il fatto che non manifestano variazioni nel tempo.

Derivata delle funzioni sinusoidali

Fig 1.2 - Funzione derivata ricavata dal calcolo dei coefficienti angolari nei singoli punti

Un caso particolarmente interessante nello studio delle correnti alternate è costituito dai fenomeni con andamento sinusoidale nel tempo, rappresentati dalla funzione

dove  ω = 2 π f rappresenta la pulsazione del fenomeno periodico ed A rappresenta il valore massimo della sinusoide, detto ampiezza.

Per semplicità ci riferiamo, in un primo tempo, alla sinusoide normalizzata di fig. 1.3 a) e b), avente A = 1 e ω = 1 come nell articolo funzione sinusoidale. L’espressione analitica della funzione si semplifica come segue:

La frequenza ed il periodo corrispondenti risultano:

In matematica verrà dimostrato come la funzione che rappresenta la derivata della sinusoide nei vari istanti sia la cosinusoide:

Per ora ci accontentiamo di verificare graficamente che il coefficiente angolare della tangente negli istanti t = 0, π / 2, π, 3 / 2 π, 2 π assume proprio i valori 1, 0, -1, 0, 1, corrispondenti alla cosinusoide (fig. 1.3 b)).

La sinusoide normalizzata presenta una proprietà singolare: la sua funzione derivata ne conserva l'identica forma, ma è in anticipo di 90° (π / 2 radianti). È facile verificare, ad esempio graficamente, che questa proprietà è ancora valida se la sinusoide y(t) ha un angolo di fase qualsiasi: la derivata sempre una sinusoide uguale alla y(t), ma anticipata di 90°.

Solamente un’altra curva matematica possiede una proprietà altrettanto notevole: si tratta dell'esponenziale come nell' articolo Curve esponenziali. L’esponenziale crescente normalizzata, avente cioè valore iniziale e costante di tempo pari a uno, ha la seguente espressione:

la sua funzione derivata risulta identica alla y(t):

Nell' articolo Curve esponenziali si esprimeva lo stesso concetto dicendo che l’esponenziale crescente aumenta con una rapidità proporzionale al valore raggiunto: con termini più precisi ora diciamo che, in ciascun istante, la derivata è identica al valore della funzione.

Se l’esponenziale ha ampiezza e costante di tempo diversi da uno, la derivata assume un’espressione un pò più complessa, ma rimane comunque proporzionale a y(t) in ogni istante:

Solamente le sinusoidi e le esponenziali posseggono la proprietà di mantenere invariata la propria forma dopo una operazione, di derivazione. Tutte le altre curve (iperboli, parabole, ecc.) dopo un’operazione di derivazione, cambiano totalmente aspetto.

Torniamo ora alle sinusoidi. Nel caso in cui ω sia diversa da 1, il periodo risultà:

Fig 1.3 - Derivata della sinusoide per ω = 1(a e b) e ω =2 (c e d)

Nella fig. 1.3 c) e d) si considera ad esempio ω = 2; le stesse variazioni avvengono in un tempo dimezzato, ed i coefficienti angolari delle tangenti risultano tutti raddoppiati: in ogni istante la derivata risulta doppia rispetto al caso con ω = 1.

In generale, per ω qualsiasi, la derivata risulta direttamente proporzionale ad ω:

Se inoltre l’ampiezza A della funzione y(t) è diversa da uno, tutti i coefficienti angolari risultano pure moltiplicati per A.

In conclusione, nel caso generale di una sinusoide avente l'espressione

la derivata risulta